Consejos útiles

¿Cómo encontrar el centro de gravedad?

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Como saben, la gravedad de un cuerpo es igual a la suma vectorial de gravedad que actúa sobre todos los puntos materiales en los que se puede dividir el cuerpo en cuestión. El punto al que se aplica la gravedad resultante se llama centro de gravedad. Si se conoce la posición del centro de gravedad, entonces podemos suponer que solo una fuerza de gravedad aplicada al centro de gravedad actúa sobre el cuerpo.

Debe tenerse en cuenta que las fuerzas de gravedad que actúan sobre elementos individuales del cuerpo están dirigidas hacia el centro de la tierra y no son estrictamente paralelas. Pero dado que las dimensiones de la mayoría de los cuerpos en la Tierra son mucho más pequeñas que su radio, estas fuerzas se consideran paralelas.

Determinación del centro de gravedad del cuerpo.

Centro de gravedad llaman al punto a través del cual pasa la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre los puntos materiales en los que se rompe el cuerpo en cuestión, en cualquier posición del cuerpo en el espacio.

El centro de gravedad es el punto con respecto al cual el momento de gravedad total es cero en cualquier posición del cuerpo.

La estabilidad de todas las estructuras depende de la posición del centro de gravedad.

¿Cómo encontrar el centro de gravedad?

Para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo de forma compleja, es necesario dividir mentalmente el cuerpo en partes de forma simple y determinar la ubicación de los centros de gravedad para ellos. En cuerpos de forma simple, el centro de gravedad se determina utilizando su simetría. Entonces, el centro de gravedad de un disco y una bola homogéneos se encuentra en su centro, de un cilindro homogéneo en un punto en el medio de su eje, de un paralelepípedo homogéneo en la intersección de sus diagonales, y así sucesivamente. Para todos los cuerpos homogéneos, el centro de gravedad coincide con el centro de simetría. El centro de gravedad se puede ubicar fuera del cuerpo, por ejemplo, en el anillo.

Habiendo determinado dónde están ubicados los centros de gravedad de las partes individuales del cuerpo, proceden a buscar la ubicación del centro de gravedad del cuerpo como un todo. El cuerpo se representa como un sistema de puntos materiales. Además, cada punto tiene una masa de su parte del cuerpo y se encuentra en su centro de gravedad.

Coordenadas del centro de gravedad del cuerpo

En el espacio tridimensional, las coordenadas del centro de gravedad para un cuerpo rígido son como:

donde $ m $ es la masa del cuerpo. $ ,, x_i $ es la coordenada en el eje X de la masa elemental $ Delta m_i $, $ y_i $ es la coordenada en el eje Y de la masa elemental $ Delta m_i $ ,, $ z_i $ es la coordenada en el eje Z de la masa elemental $ Delta m_i $.

En forma vectorial, el sistema de ecuaciones (1) se representa como:

$ < overline> _c $ - radio - un vector que determina la posición del centro de gravedad, $ < overline> _i $ - vectores de radio que determinan la posición de las masas elementales.

Centro de gravedad, centro de masa y centro de inercia del cuerpo.

Se cree que el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de masa del cuerpo, si su tamaño es pequeño en comparación con la distancia al centro de la Tierra. Además, las fórmulas que determinan la posición del centro de gravedad y el centro de masa del cuerpo coinciden con las expresiones (1) y (2). En la mayor parte de las tareas, el centro de gravedad se toma coincidiendo con el centro de masa del cuerpo.

La fuerza de inercia en los marcos de referencia no inerciales que se mueven progresivamente se aplica al centro de gravedad del cuerpo.

Pero la fuerza de inercia centrífuga (en el caso general) no se aplica al centro de gravedad, ya que en un sistema de referencia no inercial diferentes fuerzas de inercia centrífuga actúan sobre los elementos del cuerpo (incluso si las masas de los elementos son iguales), ya que las distancias al eje de rotación son diferentes.

Ejemplos de tareas con una solución.

Asignación ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad de un sistema de masas de tres puntos ubicados en los vértices y uno en el centro de un triángulo equilátero, con un lado igual a $ a (m) $ (Fig. 1)?

Solución: La definición del centro de gravedad para las coordenadas $ x_c y y_c $ en nuestro caso se escribe como:

De la Fig. 1 vemos que las abscisas correspondientes de los puntos son iguales:

Entonces la abscisa del centro de gravedad es igual a:

Encuentra las ordenadas de los puntos.

Para encontrar la ordenada de $ y_2 $ encontramos la altura en un triángulo equilátero:

Encontramos la ordenada $ y_3 $, dado que las medianas en un triángulo equilátero están divididas por el punto de intersección en la proporción 2: 1 desde la parte superior, tenemos:

Calculamos la ordenada del centro de gravedad:

Asignación ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad de un sistema de cuatro masas elementales ubicadas en los vértices del cubo con lados iguales a $ a $ (Fig. 2)?

Solución: Encontramos la coordenada $ x_c $ del centro de gravedad como:

La ordenada del centro de gravedad se calcula como:

Para la coordenada $ z_c $ obtenemos:

La respuesta es: ($ x_y_c, z_c $) = ($ 0.1 a $, $ 0.3a $, $ 0.2a $) (m)

Biblioteca de figuras elementales.

Para figuras planas simétricas, el centro de gravedad coincide con el centro de simetría. El grupo simétrico de objetos elementales incluye: un círculo, un rectángulo (que incluye un cuadrado), un paralelogramo (que incluye un rombo), un polígono regular.

De las diez figuras que se muestran en la figura anterior, solo dos son básicas. Es decir, utilizando triángulos y sectores de círculos, puede combinar casi cualquier figura de interés práctico. Cualquier curva arbitraria se puede dividir en secciones, reemplazadas por arcos de círculos.

Las ocho figuras restantes son las más comunes, por lo que se incluyeron en esta biblioteca única. En nuestra clasificación, estos elementos no son básicos. Un rectángulo, un paralelogramo y un trapecio pueden estar compuestos de dos triángulos. Un hexágono es la suma de cuatro triángulos. Un segmento circular es la diferencia de un sector de un círculo y un triángulo. El sector anular de un círculo es la diferencia de dos sectores. Un círculo es un sector de un círculo con un ángulo α = 2 * π = 360˚. Un semicírculo es, respectivamente, un sector de un círculo con un ángulo α = π = 180˚.

Cálculo en Excel de coordenadas del centro de gravedad de una figura compuesta.

Transmitir y percibir información, considerando un ejemplo, siempre es más fácil que estudiar el tema en cálculos puramente teóricos. Consideremos la solución al problema "¿Cómo encontrar el centro de gravedad?" Usando el ejemplo de la figura compuesta que se muestra en la figura debajo de este texto.

Una sección compuesta es un rectángulo (con dimensiones un1 = 80 mm b1 = 40 mm), al cual un triángulo isósceles (con un tamaño base un2 = 24 mm y altura h2 = 42 mm) y desde el cual se cortó un semicírculo desde la parte superior derecha (centrado en un punto con coordenadas x03 = 50 mm y y03 = 40 mm, radio r3 = 26 mm).

Para ayudar con el cálculo, atraeremos un programaMS Excel o programaOoo calc. ¡Cualquiera de ellos puede hacer frente fácilmente a nuestra tarea!

En las celdas con un relleno amarillo claro, consideramos los resultados.

Comenzamos a resolver el problema, comenzamos la búsqueda de las coordenadas del centro de gravedad de la sección.

Datos de origen:

1. Los nombres de las figuras elementales que forman una sección compuesta se ingresan respectivamente

a la celda D3: Rectángulo

a la celda E3: Triángulo

a la celda F3: Semicírculo

2. Usando la "Biblioteca de figuras elementales" presentada en este artículo, determinamos las coordenadas de los centros de gravedad de los elementos de la sección compuesta xci y yci en mm con respecto a los ejes 0x y 0y seleccionados arbitrariamente y escribir

a la celda D4: = 80/2=40,000

xc1 =un1 /2

a la celda D5: = 40/2=20,000

yc1 =b1 /2

a la celda E4: = 24/2=12,000

xc2 =un2 /2

a la celda E5: = 40 + 42/3=54,000

yc2 =b1 +h2 /3

a la celda F4: = 50=50,000

xc3 =x03

a la celda F5: = 40-4 * 26/3 / PI ()=28,965

yc3 =y03 -4*r3/3/π

3. Calcular el área de los elementos. F1 ,F2 ,F3 en mm2, utilizando nuevamente las fórmulas de la sección "Biblioteca de figuras elementales"

en la celda D6: = 40 * 80=3200

en la celda E6: = 24 * 42/2=504

en la celda F6: = -PI () / 2 * 26 ^ 2=-1062

F3= -π / 2 * r3 ^ 2

¡El área del tercer elemento, un semicírculo, es negativa porque este recorte es un lugar vacío!

Cálculo de las coordenadas del centro de gravedad:

4. Definir el área total de la figura final. F0 en mm2

en la celda combinada D8E8F8: = D6 + E6 + F6=2642

5. Calculamos los momentos estáticos de la figura compuesta. Sx y Sy en mm3 en relación con los ejes seleccionados 0x y 0y

en la celda combinada D9E9F9: = D5 * D6 + E5 * E6 + F5 * F6=60459

en la celda combinada D10E10F10: = D4 * D6 + E4 * E6 + F4 * F6=80955

6. Y finalmente, calculamos las coordenadas del centro de gravedad de la sección compuesta Xc y Yc en mm en el sistema de coordenadas seleccionado 0x - 0y

en celda combinada D11E11F11: = D10 / D8=30,640

en la celda combinada D12E12F12: = D9 / D8=22,883

El problema está resuelto, el cálculo en Excel está hecho: ¡se encuentran las coordenadas del centro de gravedad de la sección, compiladas usando tres elementos simples!

Conclusión

El ejemplo en el artículo se eligió de manera muy simple para que fuera más fácil comprender la metodología de cálculo del centro de gravedad de una sección compleja. El método es que cualquier figura compleja debe dividirse en elementos simples con ubicaciones conocidas de centros de gravedad y hacer cálculos finales para toda la sección.

Si la sección está compuesta de perfiles rodantes: esquinas y canales, entonces no hay necesidad de dividirlos en rectángulos y cuadrados con sectores circulares "π / 2" cortados. Las coordenadas de los centros de gravedad de estos perfiles se dan en las tablas GOST, es decir, la esquina y el canal serán los elementos elementales básicos en sus cálculos de secciones compuestas (no tiene sentido hablar de vigas en I, tuberías, varillas y hexágonos, estas son secciones centralmente simétricas).

¡La ubicación de los ejes de coordenadas no afecta la posición del centro de gravedad de la figura! Por lo tanto, elija un sistema de coordenadas que simplifique sus cálculos. Si, por ejemplo, en nuestro ejemplo, rotara el sistema de coordenadas 45˚ en el sentido de las agujas del reloj, entonces el cálculo de las coordenadas de los centros de gravedad del rectángulo, triángulo y semicírculo se convertiría en otra etapa de cálculos más engorrosa e independiente que no se puede completar "en la mente".

El archivo de cálculo de Excel a continuación no es un programa en este caso. Más bien, es un boceto de una calculadora, un algoritmo cuya plantilla sigue en cada caso cree su propia secuencia de fórmulas para celdas con relleno amarillo brillante.

Entonces, ahora sabes cómo encontrar el centro de gravedad de cualquier sección. Un cálculo completo de todas las características geométricas de las secciones compuestas complejas arbitrarias se considerará en uno de los próximos artículos en la sección "Mecánica". Sigue las noticias en el blog.

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Algunas palabras sobre el vidrio, la moneda y los dos tenedores, que se muestran en la "ilustración del icono" al comienzo del artículo. Muchos de ustedes, por supuesto, están familiarizados con este "truco" que evoca las miradas de admiración de niños y adultos no iniciados. El tema de este artículo es el centro de gravedad. ¡Es él y el fulcro, jugando con nuestra conciencia y experiencia, simplemente engañando a nuestra mente!

El centro de gravedad del sistema "tenedor + moneda" siempre se encuentra en arreglado distancia verticalmente hacia abajo desde el borde de la moneda, que a su vez es el punto de apoyo. ¡Esta es una posición de equilibrio estable! Si sacude las horquillas, inmediatamente se hace evidente que el sistema busca ocupar su posición estable anterior. Imagine un péndulo: un punto de fijación (= el punto de soporte de la moneda en el borde del vidrio), el eje de la barra pivotante (= en nuestro caso el eje es virtual, ya que la masa de dos horquillas está separada en diferentes direcciones del espacio) y la carga está por debajo del eje (= centro de gravedad de todo el sistema de "horquilla" + moneda "). Si comienza a desviar el péndulo de la vertical en cualquier dirección (adelante, atrás, izquierda, derecha), inevitablemente volverá a su posición original por gravedad estado estable de equilibrio (¡Lo mismo sucede con nuestros tenedores y monedas!)

Quién no entiende, pero quiere entender, resuélvelo tú mismo. ¡Es muy interesante "llegar" a ti mismo! Agregaré que el mismo principio de usar el equilibrio estable también se implementa en el vanka de juguete: levántate. Solo el centro de gravedad de este juguete se encuentra por encima del fulcro, pero por debajo del centro del hemisferio de la superficie de soporte.

Sus comentarios son siempre bienvenidos, queridos lectores.

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